5.3. 熱的純粋量子状態による有限温度計算

杉浦・清水によって、 少数個（サイズが大きい場合はほぼ一つ）の 波動関数から有限温度の物理量を計算する方法が提案されました [1] 。 その状態は熱的純粋量子状態(TPQ)と呼ばれています。 TPQはハミルトニアンを波動関数に順次作用させて得られるので、 Lanczos法の技術がそのまま使うことができます。 ここでは、とくに計算が簡単な, micro canonical TPQ(mTPQ)の 概要を述べます。

\(|\psi_{0}\rangle\)をあるランダムベクトルとします。 これに\((l-{\mathcal H}/N_{s})\)(\(l\)はある定数、\(N_{s}\)はサイト数)を\(k\)回作用させた （規格化された）ベクトルは次のように与えられます。

\[\begin{aligned} |\psi_{k}\rangle \equiv \frac{(l-{\mathcal H}/N_{s})|\psi_{k-1}\rangle}{|(l-{\mathcal H}/N_{s})|\psi_{k-1}\rangle|}.\end{aligned}\]

この\(|\psi_{k}\rangle\)がmTPQ状態で、このmTPQ状態に対応する逆温度\(\beta_{k}\)は 以下のように内部エネルギー\(u_{k}\)から求めることができます。

\[\begin{aligned} \beta_{k}\sim \frac{2k/N_{s}}{l-u_{k}},~~ u_{k} = \langle \psi_{k}|{\mathcal H}|\psi_{k}\rangle/N_{s}.\end{aligned}\]

そして、任意 [2] の物理量\(\hat{A}\)の\(\beta_{k}\)での平均値は

\[\begin{aligned} \langle \hat{A}\rangle_{\beta_{k}} = \langle \psi_{k}|\hat{A}|\psi_{k}\rangle/N_{s}\end{aligned}\]

となります。 有限系では最初の乱数ベクトルによる誤差がありますので、 いくつか独立な計算を行って、\(|\psi_{0}\rangle\) に関する平均値および標準偏差を見積もっています。

5.3.1. 実際の実装について

初期ベクトルの設定について

熱的純粋量子状態による有限温度計算では、初期ベクトルは全ての成分に対してランダムな係数を与えます。 初期ベクトルの係数の型はModParaで指定される入力ファイルのInitialVecTypeを用い、 実数もしくは複素数の指定をすることができます。乱数のシードはinitial_iv (\(\equiv r_s\))により

\[\begin{aligned} 123432+(n_{\rm run}+1)\times |r_s|+k_{\rm Thread}+N_{\rm Thread} \times k_{\rm Process}\end{aligned}\]

で与えられます。ここで、\(n_{\rm run}\)はrunの回数であり、runの最大回数はスタンダードモード用入力ファイル、 もしくはModParaで指定される入力ファイルのNumAveで指定します。 initial_ivはスタンダードモード用の入力ファイル、もしくはエキスパートモードではModParaで指定される入力ファイルで指定します。乱数はSIMD-oriented Fast Mersenne Twister(dSFMT)を用い発生させています [3] 。 また、\(k_{\rm Thread}, N_{\rm Thread}, k_{\rm Process}\)はそれぞれスレッド番号、スレッド数、プロセス番号を表します。 したがって同じinitial_ivを用いても、並列数が異なる場合には別の初期波動関数が生成されます。

[1]	S. Sugiura, A. Shimizu, Phys. Rev. Lett. 108, 240401 (2012).

[2]	局所的にという条件がつきます。

[3]	http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/MT/SFMT.